Піфагор – архітектор числового порядку: гармонія сфер і математика прямокутних трикутників

***

Пiсля того, як Пiфагор став олiмпiйським чемпiоном iз кулачного бою, його опоненти передумали вступати з ним у науковi дискусiї.

– Та що цей качок може знати про математику! – казали вони.

***

Минулого разу ми дослідили захопливий світ математичної криптографії, де теорія чисел стоїть на варті цифрової безпеки (https://us.bdpu.org.ua/matematychna-poeziia-kryptohrafii-symfoniia-teorii-chysel-na-varti-tsyfrovoi-bezpeky.html), а сьогодні повернулися до витоків, розглянувши історію мудреця, чиє ім’я знає кожен, але справжню велич якого розуміють лише поодинокі!

Уперше цього навчального року в межах роботи математичного гуртка факультету ФМКТО БДПУ (вже не тільки загальноуніверситетського, а й загальноукраїнського) відбулися поспіль два захопливі заняття, присвячені постаті та математичному доробку Піфагора Самоського – математика, філософа, містика і творця однієї з найвідоміших теорем в історії людства.

Здобувачі освіти дізналися про гномон як інструмент давньогрецьких математиків, дослідили фрактальну красу Дерева Піфагора та проаналізували різноманітні доведення однойменної теореми – від класичного методу Евкліда до елегантного геометричного підходу Леонардо да Вінчі та сучасного диференціального доведення методом нескінченно малих.

Окрема дискусія була присвячена узагальненням теореми Піфагора: від теореми де Гуа для n-вимірних просторів до неевклідових геометрій Рімана і Лобачевського-Бойяї. Учасники побачили, як одна і та ж фундаментальна ідея трансформується залежно від геометричного простору – сферичного чи гіперболічного – демонструючи неймовірну гнучкість математичної думки. Генерацію усіх можливих піфагорових трійок було розглянуто у цікавому відео, яке поєднало теорему Піфагора з комплексними числами(!): https://www.youtube.com/watch?v=QJYmyhnaaek

Заняття продемонстрували неймовірний зв’язок між давньогрецькою філософією чисел і сучасною математичною наукою. Здобувачі зрозуміли, що Спіраль Феодора-Ейнштейна-Піфагора – це не лише геометрична конструкція, а й втілення ідеї безперервності математичних відкриттів, де кожне покоління вчених додає новий “виток” до спіралі знань. Розвеселила дещо містична чаша Піфагора, що демонструє фізичні принципи у поєднанні з античною мудрістю.

Також учасників вразило усвідомлення того, що піфагорейська «гармонія сфер» – це не просто поетична метафора, а математично обґрунтована концепція співвідношень і пропорцій, яка знайшла своє втілення в сучасній теорії коливань, акустиці та навіть квантовій механіці. Заняття не лише показало універсальність геометричних принципів у різних галузях знань, а й надихнуло учасників на пошук краси в строгих формулах, гармонії у стародавніх теоремах і творчості в числових співвідношеннях.

Повна версія і цитування: Кудiнов М. Пiфагор – архiтектор числового порядку: Гармонiя сфер i математика прямокутних трикутникiв / М. Кудiнов. – Zenodo. – 2025. – URL: https://doi.org/10.5281/zenodo.17100433.

Pythagoras – Architect of Numerical Order: The Harmony of the Spheres and the Mathematics of Right Triangles

***

After Pythagoras became an Olympic champion in boxing, his opponents changed their minds about entering into scientific discussions with him.

– What can this muscleman possibly know about mathematics! – they said.

***

Last time we explored the fascinating world of mathematical cryptography, where number theory stands guard over digital security (https://us.bdpu.org.ua/matematychna-poeziia-kryptohrafii-symfoniia-teorii-chysel-na-varti-tsyfrovoi-bezpeky.html), and today we returned to the origins, considering the story of a sage whose name is known to everyone, but whose true greatness is understood only by a few!

For the first time this academic year, within the work of the mathematics club of the FMCTE faculty of BSPU (already not only university-wide, but nationwide), two consecutive exciting sessions were held, dedicated to the figure and mathematical heritage of Pythagoras of Samos – mathematician, philosopher, mystic, and creator of one of the most famous theorems in the history of mankind.

The students learned about the gnomon as a tool of the ancient Greek mathematicians, explored the fractal beauty of the Pythagoras Tree, and analyzed various proofs of the eponymous theorem – from the classical method of Euclid to the elegant geometric approach of Leonardo da Vinci and the modern differential proof using infinitesimals.

A separate discussion was devoted to generalizations of the Pythagorean theorem: from de Gua’s theorem for n-dimensional spaces to the non-Euclidean geometries of Riemann and Lobachevsky–Bolyai. The participants saw how the same fundamental idea transforms depending on the geometric space – spherical or hyperbolic – demonstrating the incredible flexibility of mathematical thought. The generation of all possible Pythagorean triples was examined in an interesting video that connected the Pythagorean theorem with complex numbers(!): https://www.youtube.com/watch?v=QJYmyhnaaek

The lesson demonstrated an incredible connection between ancient Greek philosophy of numbers and modern mathematical science. The students understood that the Spiral of Theodorus–Einstein–Pythagoras is not only a geometric construction, but also an embodiment of the idea of continuity of mathematical discoveries, where each generation of scientists adds a new “turn” to the spiral of knowledge. The somewhat mystical Cup of Pythagoras amused everyone, showing physical principles combined with ancient wisdom.

The participants were also impressed by the realization that the Pythagorean “harmony of the spheres” is not just a poetic metaphor, but a mathematically grounded concept of ratios and proportions, which has found its embodiment in modern theory of oscillations, acoustics, and even quantum mechanics. The lessons not only showed the universality of geometric principles in various fields of knowledge, but also inspired the participants to seek beauty in strict formulas, harmony in ancient theorems, and creativity in numerical relationships. Full version and citation: Kudinov M. Pythagoras – Architect of Numerical Order: The Harmony of the Spheres and the Mathematics of Right Triangles / M. Kudinov. – Zenodo. – 2025. – URL: https://doi.org/10.5281/zenodo.17100433

За матеріалами кафедри фізики, математики та методики навчання