Від Бердянська до Кембриджа: нерівність Безіковича, гіпотеза Какейя, квазіперіодичні функції і лев у клітці

Минулого разу підсумкове заняття 2024 року, присвячене математичному «лісо-пожежному» моделюванню і розгляду клітинних автоматів та «Гри Життя» як найяскравішого їх представника, ми закінчили цитатою математика Джона Гортона Конвея: «Ви ніколи не навчите, розповідаючи звичайні речі, але навчите, розказуючи цікаві речі!».

Тож сьогодні до розгляду – всесвітньо відомі математичні досягнення Абрама Самойловича Безіковича – випускника 1908 року (на той момент чоловічої гімназії) Бердянського державного педагогічного університету!

На черговому занятті математичного гуртка факультету ФМКТО БДПУ учасники вирушили в захопливу подорож крізь простір і час – від минулого століття до сьогодення та від Бердянська до Кембриджа: по математичних стежках хлопчика, який народився у затишному місті на березі лагідного Азовського моря. Абрам Безікович пройшов шлях від учня місцевої гімназії до професора Кембриджського університету, зробивши значущі здобутки в галузі математики.

Працюючи над відомою «гіпотезою Какейя» про множини прямих на площині, Безікович створив дивовижні геометричні конструкції, які тепер називають «множинами Безіковича» та завдяки яким застосовують розмірність «Гаусдорфа-Безіковича» у фрактальному аналізі. «Нерівність Безіковича» – ще одна з його робіт – елегантний математичний інструмент, який знаходить прикладне використання у найрізноманітніших галузях: від теорії чисел до обробки сигналів.

Особливу увагу математик приділив вивченню квазіперіодичних функцій, які описують багато біологічних коливань, у тому числі кардіограми та ін. Ця робота привела до несподіваного відкриття: виявилося, що траєкторія більярдної кулі в певних многокутниках може бути майже періодичною. Ця задача стала відомою як «проблема лева в клітці» – якщо уявити лева, що полює на жертву у замкненому просторі, чи зможе жертва нескінченно довго уникати зустрічі з ним?

Сьогодні ідеї Безіковича продовжують надихати нові покоління математиків. Його роботи допомагають розв’язувати складні задачі в теорії динамічних систем, математичній фізиці та навіть у розробці алгоритмів комп’ютерної графіки. Шлях науковця від берегів Азовського моря до академічних вершин Кембриджа демонструє, як талант і наполеглива праця можуть змінити уявлення про математику та її можливості.

Наприкінці заняття учасники познайомились з анекдотом «Як упіймати лева в пустелі» (гумор подовжує життя і прискорює доведення теорем):

***

Як упіймати лева в пустелі?

Математик:

– Методом бісекції ділимо пустелю навпіл, в одній половині лева немає. Ділимо ту половину пустелі, в якій є лев, ще раз навпіл, і так доти, доки не отримаємо ділянку пустелі розміром з лева, в якій шуканий лев і буде знаходитись.

Філософ:

– Що означає зловити лева? Посадити його до клітки! Беремо клітку і сідаємо до неї самі: завдання виконане – лев у клітці, але з іншого боку.

Програміст на Паскалі:

Переглядає пустелю повним перебором. Виявивши лева, будує навколо нього клітку.

Досвідчений програміст на Паскалі:

Сортує пустелю за зростанням, після чого шукає лева двійковим пошуком і будує навколо нього клітку. Якщо в процесі будівництва лев йде від нього, кидає роботу з криком «Range Check Error!».

Програміст на Сі:

Шукає у пустелі камінь і поміщає його у клітку. Надає каменю значення «лев».

Досвідчений програміст на Сі:

Надає пустелі значення «клітка».

Програміст на Сі++:

Проектує клітку таким чином, щоб лев був її складовою. При ініціалізації клітки лев автоматично генерується усередині.

Програміст на Аді:

Каже, що лев і клітка – це об’єкти різних типів, і нема чого морочити йому голову некоректними завданнями.

Програміст на Делфі:

Пише у всі конференції: «Народ, де взяти компонент, який шукає в пустелі лева і поміщає його в клітку?».

Майстер з ремонту заліза:

Купує в зоопарку левицю, робить їй операцію зі зміни статі і довго намагається запхати її в клітку для канарейки.

Action-геймер:

Озброюється супердвостволкою, плазмометом, хладометом, цвяхометом, роторним кулеметом і бензопилою. Прочісує пустелю, розносячи все на своєму шляху. Шукає серед убитих лева і намагається виявити у нього в животі магічний ключ. Якщо знаходить, відмикає їм клітку і стоїть у ній, очікуючи переходу на наступний рівень.

Квест-геймер:

Шукає по всій пустелі лева, знаходить, кладе до кишені. Потім шукає по всій пустелі клітку, попутно намагаючись засунути лева до чайника, черевика, телевізора, відра з фарбою або до інших ємностей, що трапляються йому на шляху.

Геймер-стратег:

Піднімає по всій пустелі податки, щоб отримати гроші на будівництво клітки і мисливських юнітів. На момент закінчення будівництва всі леви помирають з голоду.

Користувач інтернету:

Заходить до своєї улюбленої пошукової системи, пише в рядку Search «пустеля», шукає в знайденому «лев у клітці». Якщо не знаходить, каже, що завдання не може бути розв’язане.

Вебмайстер:

Заходить до своєї улюбленої пошукової системи і пише в рядку Search «пустеля + лев». Створює документ kletka.html та прописує в ньому посилання на знайдене.

Спамер:

Розсилає по всій пустелі безліч кліток, до кожної з яких прив’язаний папірець: «Якщо ви лев, будь ласка, зайдіть до клітки і закрийтеся зсередини».

Троянщик:

Робить те саме, що й спамер, але замість папірця зовні вішає всередині клітки картинку з оголеною левицею.

Маркетолог електронного бізнесу:

Ставить у пустелі клітку, що сама замикається. Розкидає по всій пустелі банери, що вказують на неї «Пробне користування кліткою – три тижні безкоштовно!». Кожного, хто входить до клітки, змушує заповнити анкету, і якщо у графі «Хто ви» із запропонованого списку обрано не «Лев», повідомляє про некоректність введених даних і викидає його геть із клітки.

Адмін:

Викопує навколо клітки рів, заповнює його концентрованою кислотою, встановлює вздовж берега протитанкові їжаки і протипіхотні міни, все це обплутує колючим дротом. До дроту і прутів клітки підключає генератор високої напруги. Вішає на клітку 10 кодових та 12 коморних замків. Заходить усередину, замикається на всі замки, пускає струм, ключі проковтує, коди забуває і каже, що тепер йому ніякий лев не страшний.

Хакер:

Нейтралізує кислоту лугом, перекушує дріт, проповзає під їжаками, перестрибує з жердиною через міни, відключає струм, зламує замки та входить у клітку. Не виявивши всередині лева, матюкається з досади, дає стусан адмінові та йде назад у пустелю.

За матеріалами кафедри фізики, математики

та методики навчання